Der kreis – formeln und arbeiten mit formeln

Herleitung des Kreisinhaltes und Kreisumfangs

Arbeiten mit dieser Formel

1. Keisflache und Kreisinhalt

Die Kreisflache kann mit einer einfachen Formel berechnet werden: A= pi * r²

Es war eine historische Leistung, die Kreiszahl pi „genau zu bestimmen. Dem Schuler sollte im Unterricht wenigstens eine Methode vermittelt werden, wie man sie erreichen kann.

Methode: Annaherung der Kreisfache von innen und au?en durch Rechtecke.

Der Einfachheit halber verwendet man nur einen Viertelkreis. Seinen Radius teilt man in n gleich gro?e Teile auf und kann in den Kreis (n-1) Rechtecke einzeichnen, und kann n Rechtecke uber den Kreis legen, dass er ganz abgedeckt wird. Diese Methode soll auf drei Arten vorgefuhrt werden.

1. Beispiel: n=4

An diesem 1. Beispiel kann man erkennen, wie man den Viertelkreis mir 4 Rechtecken, die bis zum Kreis reichen, ausfullen kann. Das 4. Rechteck ist allerdings zur Strecke entarntet, es hat namlich die Hohe 0! .

Das 2. Beispiel zeigt, dass man so den Viertelkreis mit vier Rechtecken uberdecken kann. Dabei sollte man erkennen, dass die drei inneren Rechtecke mit drei der vier au?eren Rechtecke ubereinstimmen.

Bei einer Zerlegung des Radius in 4 Teilen erhalt jedes Rechteck die Breite b= r/4

Die Flache der drei inneren Rechtecke hei?en Untersumme U.vier.

Die Hohen der Rechtecke berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.

Untersumme und Obersumme:

Eine Viertelkreisflache (B.s.) liegt zwischen der Ober- und Untersumme:

0,6239*r² < A.vk < 0,8739

Man multipliziert diese Ungleichung mit 4 und erhalt eine erste Abschatzung fur die Kreisflache:

2,4956*r² < A.kr < 3,4956*r²

den genauen Zahlenfaktor fur r² nennt man die Zahl Pi.

Fur die Kreisflache gilt somit

A.kr = Pi*r²

und wir wissen jetzt uber Pi:

2,4956< Pi < 3,4956.

Der Unterschied zwischen Obersumme und Untersumme ist also gerade Ao .

Diese Flache hat den Inhalt Ao= r/n*r= r²/n

Fur r= 10 ist beispielsweise Ao = 100/n

Hat man eine Zerlegung in 10 Teilintervalle, ergibt dies Ao= 10

Bei 100 teilintervallen: Ao= 1, bei 1000 Teilintervallen 0,1 usw.

Man erkennt, dass dieser Wert mit zunehmenden n immer kleiner wird und gegen 0 geht.

Damit wird klar, dass sich zunehmendem n das Intervall

4U.n < A.kreis< 4O.n

immer weiter zusammenzieht.

Als Ergebnis bleibt fur die Kreisflache n ein Grenzwert ubrig, den man so schreibt:

A = Pi * r²

Aus der Zerlegung in 5 Teilen folgt: 2,636 * r² < A.kreis < 3,436*r²

Also kann man hieraus zumindest schon festsellen: 2,636 < Pi < 3,236

Ein genauer Wert ist:

Pi= 3,14159…

Diese Zahl tritt so vielfaltig in Erscheinung, dass es sehr viele Methoden gibt, sie weit zu berrechnen. Da sie unendlich und nicht-periodisch ist, kennt man niemand ihren exakten Wert.

Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen.