Polynomdivision

Beim Berechnen der Losungen von algebraischen Gleichungen hoheren Grades ist ein zweckma?iges und mogliches Vorgehen, nach dem Bestimmen einer Losung durch Division durch das Polynom der linken Seite der Gleichung auf ein Polynom zu reduzieren, dessen Grad um 1 kleiner ist. Die Operation, die es dabei also auszufuhren gilt, ist eine Polynomdivision.

Der Wurzelsatz von VIETA fur quadratische Gleichungen sagt aus, dass ein quadratisches Polynom der Form bei Kenntnis der reellen Nullstellen und wie folgt in der Form eines Produkts geschrieben werden kann:

Das hei?t in Worten: Kennt man von einem quadratischen Polynom eine Nullstelle , so ist das Polynom durch das lineare Polynom ohne Rest teilbar.

Was oben fur das quadratische Polynom gesagt und gezeigt wurde, lasst sich verallgemeinern. Ohne Beweis sei hier mitgeteilt, dass ein Polynom n-ten Grades (mit ) mit der Nullstelle sich ohne Rest durch teilen lasst, der Quotient ist dann vom Grade . Mathematisch formuliert:

Beispiel 1:

Dieses Beispiel soll an das Dividieren anknupfen, wie man es aus dem Zahlenrechnen kennt.

Man geht beim Dividieren durch Polynome analog zur im Folgenden dargestellten schriftlichen Division von Zahlen vor:

Man pruft also, wie oft der Divisor in den „hochsten Stellen“ enthalten ist. Vollig entsprechend geht man bei der Division durch lineare Polynome vor.

Beachte: Jeder Summand des Quotienten ergibt sich als Antwort auf die Frage: „Wie oft ist x im Dividenden enthalten?“

Die Division geht ohne Rest auf, weil eine Nullstelle des Dividenden ist. [Man dividiere zur Übung durch und .]

Noch ein Trick fur den Schulgebrauch: Wenn die Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig sind, dann mussen die reellen Losungen der Gleichung Teiler des konstanten Gliedes sein. In unserem Beispiel kamen demnach die Werte in Frage. Durch Probieren findet man schnell .

Beispiel 2:

Beispiel 3:

Beispiel 4

Beispiel 5:

Merke: hat die Nullstelle und ist deshalb durch ohne Rest teilbar.

Beispiel 6:

Es soll durch geteilt werden. Nach obigem Beispiel 1 sind Nullstellen des Polynoms, es muss also die Division durch einen Rest lassen. Es ist:

Aufgabe

Welchen Wert muss a im folgenden Beispiel haben, damit die Division ohne Rest ausfuhrbar ist?

Schreibt man fur ein Polynom n-ten Grades (mit ) kurzer , so kann man die Division in Kurzform darstellen als

oder
.

Verfolgt man diesen Gedanken weiter, nimmt man also an, dass eine Nullstelle von ist, dann fuhrt das zu

oder
.

Daraus kann man unmittelbar schlie?en, dass sich ein Polynom n-ten Grades als ein Produkt von Linearfaktoren darstellen lasst, wenn man die (reellen) Nullstellen kennt:

(Die Vermutung ist damit zwar nicht bewiesen, wir konnen sie aber als beweisbar hinnehmen.)

Fur den praktischen Umgang mit Gleichungen hoheren Grades hei?t das, dass bei Kenntnis einer Losung einer Gleichung n-ten Grades die weitere Losungssuche auf eine Gleichung -ten Grades zuruckgefuhrt werden kann. Man muss allerdings durch ein Polynom dividieren konnen. Wie das auszufuhren ist, wurde in den obigen Beispielen gezeigt.